AbstractThis paper examines the behaviour of option pricing bounds in discrete time when the number of periods tends to infinity, while the length of each period tends to zero. The single‐period stock return distribution is a general multinomial process, constructed in such a way that the limiting return distribution is either a lognormal diffusion, or a mixture of diffusion and jump components. It is first shown that in the diffusion case, both upper and lower bounds converge to the single Black‐Scholes option price, thus generalizing binomial option pricing to any multinomial process under incomplete markets. For the mixed process, however, both bounds remain distinct at the limit, containing the Merton price between them. Further, the width of the bounds in such a case depends on the average return to the stock.RésuméCette étude examine le comportement des bornes du prix des options en temps discret quand le nombre de périodes tend vers l'infini, tandis que la longueur de chaque période tend vers zéro. La distribution de probabilité du rendement du titre dans une seule période est supposée être multinomiale de forme générale, sujette seulement à la restriction qu'à la limite elle tende soit vers un processus lognormal de diffusion, soit vers un processus mixte de diffusion et de changements de prix discrets. Il y est démontré que dans le cas de la diffusion les deux bornes convergent vers la même valeur, le prix de l'option selon le modèle Black et Scholes; cette conver gence généralise le modèle binomial du prix de l'option dans le cas d'une distribution multinomiale quand les marchés sont incomplets. Dans le cas des processus mixtes les deux bornes restent distinctes même à la limite, le prix de l'option selon le modèle de Mertony étant contenu entre les deux; la distance entre les deux bornes dépe